2011年广东省专插本考试数学真题及参考答案

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广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》真题

一、选择题（本大题共5题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求）

（    ）1.下列极限等式中，正确的是

A. 

B. 

C.  

D.

（    ）2.若函数在处连续，则常数a=

A. 

B. 

C.2 

D.

（    ）3.已知的二阶导数存在，且，则是函数的

A. 极小值点 

B. 最小值点 

C. 极大值点  

D. 最大值点

（    ）4.若，则=

A.1 B.2 C.3 D.4

（    ）5.设，则=

A.-1 B.0 C.1  D.2

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6  当时，与是等价无穷小，则常数k=             .

7  设则         .

8  已知在内连续，且，则         .

9  已知二元函数，则     .

10  设平面区域D由直线y=x，y=2x及x=1所围成，则二重积分     . 

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11  计算.

12  已知函数f(x)的n-2阶导数，求的n阶导数。

13  求曲线的凹凸区间和拐点。

14  计算不定积分

15  计算定积分

16  求微分方程满足初始条件的特解。

17  已知隐函数由方程所确定，求

18  已知直角坐标系下二重积分：，试用极坐标法计算二重积分。

四、综合题（本大题共2小题，第19题10分，第20题12分，共22分）

19  过坐标原点作曲线的切线l，切线l与曲线及y轴围成的平面图形记为G.求：

（1）切线l的方程；（2）G的面积；（3）G绕x轴旋转所得旋转体体积。

20  若定义在区间(0,π)的可导函数满足且.求：

（1）函数y=f(x)的表达式；（2）证明：函数y=f(x)在区间(0,π)内单调递减。

广东省2011年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》参考答案及评分标准

一、单项选择题

1  C  2  B   3  C  4  D  5  A

二、填空题

6 .8    7. -1   8 .2f(x)  9 . 0   10.1

三、计算题

11  

12  

13  函数的定义域为；

令，解得x=0，列表讨论如下(k<0):

拐点是(0,0),f(x)在是凹的，在是凸的。

14  

即

∴

15  

16  微分方程的特征方程为：；解得:r₁=-4,r₂=2,

∴微分方程的通解为：

∴有解之得：.

故特解为：

17  设F(x,y,z)=e^-xz-y^z+x²y-1,则

∴

18  画出几分区域D，可知积分区域是在第一象限的四分之一圆，则：

四、综合题

19  （1）设切点的坐标为，则

∴切线l的方程为：即又因该切线经过原点，故解之得，∴切点为，故切线方程为y=ex；

（2）

（3）

20  （1）由可得，两边积分得：Iny=Insinx-Inx+C₁，化简得又，解之得C=1，

∴函数y=f(x)的表达式为；

（2），设g(x)=xcosx-sinx, ,

因sinx在（0，π）区间内恒大于0，故，

∴是单调减函数；

又，∴在区间（0，π）内恒小于0，

故在区间(0,π)内恒为负，

∴函数y=f(x)在区间（0，π）内单调递减。

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